رنگ آمیزی منصفانه ی گراف ها

فرض کنید g‎ یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوسv(g) و مجموعه یال های‎e(g) ‎ باشد. یک ‎ -kرنگ آمیزی رأسی از گراف g ، یعنی تخصیص ‎ k رنگ به رئوس g ‎به گونه ای که رأس های مجاور هم رنگ نباشند. اگر در گراف‎ g ‎یک -‎ k ‎رنگ آمیزی وجود داشته باشد به طوری که اختلاف اندازه ی کلاس های رنگی، حداکثر یک باشد، آنگاه گراف g را -k رنگ پذیر منصفانه گویند. کوچکترین عدد صحیح k ‎که به ازای آن گرافg ،‎-k ‎رنگ پذیر منصفانه است را عدد رنگی منصفانه گویند و با نماد ?_= (g) ‎ نشان می دهند. رنگ آمیزی منصفانه اولین بار در سال 1973 ‎توسط میر معرفی شده است. میر حدس زد که برای هر گراف همبند g، به جز گراف کامل و دور فرد، ‎?_= (g)??(g). این حدس به حدس رنگ آمیزی منصفانه ‎( ecc )‎ معروف شد و مورد توجه محققان قرار گرفت. ‎ برخلاف رنگ آمیزی رأسی، اگر گرافی دارای یک ‎ -k‎رنگ آمیزی منصفانه باشد، لزوماً‎ دارای- (k+1) ‎رنگ آمیزی منصفانه نیست. به عبارت دیگر گراف هایی با عدد رنگی منصفانه کمتر از ‎?(g)‎ وجود دارند که دارای?(g) -‎رنگ آمیزی منصفانه نیستند. چن و همکارانش در سال 1994 ‎حدس زدند که اگر ‎ gیک گراف همبند غیر از گراف کاملk_n ‎ و دور فرد c_(2n+1) و گراف دوبخشی کامل ‎k_(2n+1,2n+1) باشد، آنگاهg ‎،k ‎ -‎رنگ پذیر منصفانه است. این حدس به حدس? ‎ -‎رنگ آمیزی منصفانه ‎( e?cc )‎ معروف شد. مشاهده می شود که ‎( e?cc )‎ قوی تر از ‎( ecc )‎ است. ‎در این پایان نامه ضمن مروری بر اهمیت حدس ?‎ -‎رنگ آمیزی منصفانه برای کلاس های خاصی از گراف ها از جمله گراف های دوبخشی، درخت ها، گراف های کنسر، گراف های بازه ای، گراف های سری-موازی، گراف های با تباهندگی کم و گراف های با عرض درختی کران دار، به طور ویژه به بررسی دقیق ‎( e? cc )‎ برای گراف های مسطح و گراف های مسطح بیرونی می پردازیم.